arctanx的不定積分
函數(shù) \(\arctan(x)\) 的不定積分可以通過(guò)積分的部分分式方法來(lái)求解。不定積分 \(\int \arctan(x) \, dx\) 的結(jié)果是：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數(shù)。這個(gè)結(jié)果可以通過(guò)使用積分技巧和一些代數(shù)操作得到。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這個(gè)積分涉及到對(duì)反正切函數(shù)的積分，這通常需要一些積分技巧來(lái)解決。
∫arctanxdx的詳解
積分 \(\int \arctan x \, dx\) 可以通過(guò)部分積分法來(lái)求解。部分積分法是積分學(xué)中的一種方法，用于計(jì)算兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，公式如下：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
對(duì)于 \(\int \arctan x \, dx\)，我們可以選擇 \(u = \arctan x\) 和 \(dv = dx\)。接下來(lái)，我們需要計(jì)算 \(du\) 和 \(v\)。
1. 計(jì)算 \(du\)：
\[
u = \arctan x \implies du = \frac{1}{1+x^2} \, dx
\]
2. 計(jì)算 \(v\)：
\[
dv = dx \implies v = x
\]
現(xiàn)在，我們可以應(yīng)用部分積分公式：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下來(lái)，我們需要計(jì)算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。這個(gè)積分可以通過(guò)長(zhǎng)除法或者識(shí)別它是一個(gè)簡(jiǎn)單的有理函數(shù)來(lái)解決。這個(gè)積分的結(jié)果是：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數(shù)。
將這個(gè)結(jié)果代入部分積分的公式中，我們得到：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
這就是 \(\int \arctan x \, dx\) 的積分結(jié)果。
不定積分表
不定積分是微積分中的一個(gè)重要概念，它與導(dǎo)數(shù)的概念相對(duì)應(yīng)。不定積分表是包含了一些基本函數(shù)與其對(duì)應(yīng)不定積分的表格，用于快速查找積分結(jié)果。以下是一些常見(jiàn)的函數(shù)及其不定積分：
1. \( \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \) （其中 \( n \neq -1 \)）
2. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)
3. \( \int e^x dx = e^x + C \)
4. \( \int a^x dx = \frac{1}{\ln a}a^x + C \) （其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）
5. \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)
6. \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
7. \( \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C \)
8. \( \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C \)
9. \( \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \)
10. \( \int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C \)
11. \( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C \)
12. \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C \)
13. \( \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\right| + C \) （\( x > 1 \)）
14. \( \int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \) （\( a > 0 \)）
15. \( \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \) （\( a > 0 \)）
16. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) （\( a > 0 \)）
17. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C \) （\( x > a \)）
18. \( \int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a}\cos ax + C \)
19. \( \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a}\sin ax + C \)
20. \( \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C \) （\( a \neq 0 \)）
這些是一些基本的不定積分公式，對(duì)于更復(fù)雜的函數(shù)，可能需要使用積分技巧如部分積分、換元積分法等來(lái)求解。
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